第二章 · 一条直线万物归数——每一条数轴都是一条向前延伸的路。原点是出发的站台正方向是奔赴的远方。站在原点两侧的数字互为彼此的镜像。2.3 不问东西但问远近午休时间食堂门口的人流渐渐散了。苏晚走出食堂经过走廊拐角的时候看见林默趴在教室后门的窗台上。练习册摊开在窗台边缘被风吹得页角微微卷起。他手里捏着笔笔尖停在纸面上但没有在移动。苏晚走过去看了一眼练习册上的题目“数轴上到原点的距离等于555的点有几个它们分别表示什么数”林默的笔在题目下方停住了写了一行字又划掉了。划掉的部分看不清写了什么只留下一团铅笔印。新的半句话写着“到原点距离为555的点……”。然后就没有然后了。他的笔停在那里像是已经写了半句话但不知道该怎么接下去。“卡住了”苏晚问。林默头也没抬。“这道题说‘到原点的距离’。距离我知道。数轴我也知道。但‘距离等于555’……我就是不知道它具体指的是哪个位置。”“上周傍晚我们在小区凉亭研究相反数画的那些数轴草图你还记得吗”“你说的是那两张箭头朝向相反的图。”“对。我们当时就发现了一条规律互为相反数的两个点离原点远近相同。”苏晚轻声引导“那两张图里111和-111离000多远”“一样远。”“那222和−2-2−2呢”“一样远。”“那333和−3-3−3呢”“也一样远。”苏晚没有继续追问安静等着他顺着思路往下想。林默盯着练习册上被划掉的那团笔迹像是重新辨认自己刚才混乱的思路“所以‘到原点距离等于555’——不会只有一个位置”“如果只有一个位置会意味着什么”“那数字555就只能固定在单一方向只能是原点右侧的点。可是−5-5−5离000的距离同样是555。”苏晚靠在窗台旁边“那你把答案写出来。”林默重新拿起笔这一次没有反复涂改。他稳稳写下“−5和5-5和5−5和5。”写完之后凝神思索开口提出藏在心底的疑问“但我一直有个问题。”“你说。”“这道题只问‘到原点的距离等于555’没有区分左边还是右边。可写出答案依旧要列出一正一负两个数字。”林默皱起眉“有没有一个概念可以单独描述‘555’这段距离本身抛开它处在原点哪一侧”苏晚没有立刻回答。她望向走廊尽头看见程远正从楼梯口走来——他今天中午专程过来送苏晚落在家里的试卷。程远走到教室后门看见窗边的两人脚步自然而然停了下来。“你们在研究什么”程远问。林默把练习册转向他“这道题到原点距离等于555的点。我清楚答案是−5和5-5和5−5和5。但我一直在想能不能只用一个量描述这段距离不去区分方向”程远扫过题目缓缓开口“你寻找的东西叫作绝对值。”“绝对值”“一个数在数轴上到原点的距离叫作这个数的绝对值。”程远解释“比如555和−5-5−5它们到原点的距离都是555。写成记号就是∣5∣5|5|5∣5∣5∣−5∣5|-5|5∣−5∣5。”他稍作停顿点出核心要义“绝对值只问‘多远’不问‘哪边’。”林默沉默思索低头在草稿纸上认真写下两行式子∣5∣5|5|5∣5∣5∣−5∣5|-5|5∣−5∣5他反复打量两行算式确认二者描述的是同一段长度。表1绝对值符号对照表数到原点的距离绝对值记法结果55|5|5-55|-5|500|0|0苏晚凑近窗台看清纸上内容拿起林默的铅笔在下方增补一行∣0∣0|0|0∣0∣0“0就在原点上到自身的距离是0。”她说“所以0的绝对值是0。”短暂停顿后她写下一句通俗的总结“绝对值是把方向扔掉之后剩下的东西。”林默低声默念这句话“把方向扔掉之后剩下的东西。”苏晚盯着纸面顺势抛出新的思考“那我们延伸想一想如果aaa是一个正数∣−a∣|-a|∣−a∣等于什么”“∣−a∣a|-a|a∣−a∣a。”林默很快作答“凉亭里我们就明白了−a和a-a和a−a和a互为相反数到0的距离一样远。”“那如果aaa是一个负数呢”“结论不变。”林默笃定地说“无论aaa是正数还是负数∣a∣|a|∣a∣代表的永远是它到原点的距离。”苏晚拿起笔记本整理刚刚交谈得出的结论一个数到原点的距离和它前面有没有负号无关。互为相反数的两个数绝对值相等。写完她把笔记本转向林默“这是绝对值很重要的一条性质——成对的相反数共用同一个绝对值。”林默看完笔记立刻追问“那如果aaa是0呢”“0的相反数仍是0自然绝对值也相等。”苏晚说道“它比较特殊不需要两两配对单独成立。”程远一直站在一旁静静倾听此刻适时补充把零散的观点规整成清晰的要点“梳理下来绝对值有三条关键特点。第一任何一个数的绝对值一定是非负数第二互为相反数的两个数绝对值相等第三0的绝对值是0。”表2绝对值三条性质归纳表性质编号性质内容举例①任何数的绝对值都是非负数| -3 | 3 ≥ 0②互为相反数的两个数绝对值相等| 5 | | -5 | 5③0的绝对值是0| 0 | 0苏晚提笔把三条要点完整记录下来。写完抬头看向程远“这就是绝对值的核心性质”“对。不必死记硬背看懂背后的距离含义自然就能理解。”程远说道“它本质只在陈述一件事距离不认方向。无论点落在原点左侧还是右侧原点到这个点的长度就是它的绝对值。”程远将试卷递到苏晚手中“你妈妈托我带过来的。”说完转身准备走向楼梯。“程远哥。”苏晚出声叫住他。程远回头。“之前你地图册上写过批注‘海拔和数轴一样’我一直在想海拔存在绝对值吗”程远略微思索给出回答“海拔的正负用来区分位置在海平面之上还是之下。倘若只关心高差多少不去分辨在上还是在下衡量这段高差的数值就是海拔的绝对值。”说完他转身离开。苏晚收回视线落回练习册的习题旁。她拿起笔在那片被擦掉的铅笔印记旁边写下一行短句不问东西但问远近。林默望着这行字在侧边补上小字5是距离。不管从哪边量距离都一样。写完他合上练习册。苏晚也走回自己的座位。坐下之后她反复看着那句“不问东西但问远近”认真抄进错题本就紧贴着程远总结的三条绝对值性质。比起教科书生硬的定义她觉得这句短句更能概括绝对值的内核。练习与思考A组 · 基础练习一个数在数轴上到______的距离叫作这个数的绝对值。|5||-7||0|______。数轴上到原点的距离等于3的点有______个它们表示的数是______和______。绝对值等于4的数是______。B组 · 理解深化苏晚在笔记本上写“绝对值是把方向扔掉之后剩下的东西。”请用自己的话解释这句话。判断对错错误的请改正1∣x∣x|x|x∣x∣x的数一定是正数2互为相反数的两个数∣a∣∣−a∣|a||-a|∣a∣∣−a∣3∣0∣0|0|0∣0∣0程远说“一个数的绝对值一定是非负数。”请解释“非负数”是什么意思并举例说明。C组 · 挑战思考苏晚问程远“海拔有绝对值吗”程远回答“只问‘高了多少’不问‘往上还是往下’——那就是海拔的绝对值。”请用你自己的话解释程远的回答。如果一个数的绝对值是6这个数可能是几如果题目改成“绝对值小于6的整数有哪些”你会怎么回答开放题请举一个生活中“只看距离、不看方向”的例子并说明它和绝对值的相似之处。章末伏笔那天晚上林默把错题本翻到“绝对值”那一页。他在页面上画了一条数轴中间标了0在0左右对称的位置分别标了−5-5−5和555。他在这两个点的上下方各画了一条竖线从点延伸到数轴上方然后在两条竖线的顶端画了一条横线把两个点连在一起。横线中间他写了一个字“5。”他在横线旁边补了一行字“一个数在数轴上的位置变了但绝对值没变。这说明距离和位置是两件不同的事。”他合上本子之前在那一页的底部画了一个表格——左边写“位置”右边写“距离”——但两栏都空着。他不知道这个表格会不会被填满。但他已经准备好在接下来的内容里把每一行的空位都对应上。