1. 为什么非要用无量纲相似准则建模搞过压缩空气储能、ORC余热回收或者各种透平机械系统仿真的人应该都有过这种体会设备厂家给的设计点参数很好看可系统一跑起来工况稍微一变性能就完全对不上。压缩机喘振、膨胀机效率掉弧线整个系统仿真卡在那里数据怎么调都不对。这时候你发现你缺的不是设计点而是一整套能描述设备从低负荷到满负荷、甚至超负荷运行的变工况特性曲线。这篇文章围绕压缩机和膨胀机讲清楚怎么用无量纲相似准则把分散在不同转速、不同进口条件下的性能数据统一起来再用Matlab代码把这套模型落地成可以反复调用的曲线、插值函数和特性Map。适合两类人看一类是做系统级仿真的工程师比如搞CAES、ORC、各种制冷/热泵循环另一类是刚接触透平机械性能图的在校学生想在Simulink或自己的仿真平台里加入更真实的部件模型。1.1 直接拿原始数据定义模型踩过这几个坑你就懂了很多人第一反应是厂家给了压比、流量、效率的实验数据直接把数据扔进Matlab画个曲线不就行了真这么简单就不会有后面那么多麻烦。第一个坑是环境状态不一致。压缩机在地面试车时的进口温度和你实际运行时的进口温度很可能差了二十多度。同样的物理转速下温度高意味着当地音速高、叶尖马赫数低性能曲线会整条平移。你如果拿着厂家的曲线直接套计算出来的流量和压比偏差会随着环境变化越来越大。第二个坑是物理转速和折算转速混淆。一台设计转速30000r/min的压缩机夏天30度、冬天零下10度即便转速表都是30000r/min实际折算转速完全不同。特性曲线本质上应该以折算转速为参变量而不是物理转速。直接拿物理转速建模等于假设气温对性能没有影响这个前提在变工况仿真里站不住脚。第三个坑是几何尺寸的迁移问题。你想对比不同规格机器的性能或者把一台原型机的数据映射到放大后的机型上如果使用有量纲的原始数据根本没法比较。必须把流量、焓升、转速这些物理量组合成无量纲参数才能在同一个坐标系里对比。第四个坑其实最隐蔽系统级仿真需要的是连续可微的Map而不是一组离散点。你拿到的厂家数据往往只有几条等转速线每条线上四五个点中间区域的工况需要用模型插值。直接做线性插值曲率不连续在后续的微分方程求解里很容易造成数值抖动。所以变工况特性曲线建模的第一步不是拟合而是把所有数据换算到同一个“基准”上来。这个基准就是无量纲相似准则。1.2 无量纲化的本质把流动状态按相似关系对齐透平机械内部流动的性能归根结底取决于流场状态。如果两台机器几何相似并且相似准则数一致那么它们的性能就是相似的可以互相换算。工程上最常用的相似准则数是马赫数和雷诺数。马赫数决定可压缩性效应雷诺数决定黏性效应和边界层行为。不过严格保证Ma和Re同时相同非常困难。实际工程中通常只保证主控相似准则一致忽略次要因素。对压缩机、膨胀机来说主流区的可压缩性效应是主控因素所以马赫数的相似最重要。雷诺数的影响通常通过效率修正来考虑或者在模型里加一个雷诺数修正项。那怎么把马赫数相似变成工程上能用的参数核心就是温度。音速a与sqrt(T)成正比马赫数Ma v/a。要让两台机器的马赫数一致叶尖速度必须与sqrt(T)成比例。所以才有折算转速这个概念把物理转速除以sqrt(T)等效于把不同温度下的转速换算到同一个“马赫数基准”上。同理流量要与密度和速度相关而密度与P/T有关所以折算流量的形式是mdot*sqrt(T)/P。这么说可能有点抽象。打个比方不同体重的人跑步绝对速度不能说明跑步经济性必须看单位体重下的输出功率。压缩机也一样绝对流量不能说明通流能力必须看温度、压力修正后的折算流量。不同温度和压力条件下的数据只有换算成折算参数后才能画在同一条曲线上。1.3 两组核心无量纲参数折算转速/流量与速度比实际写代码前先记住这两组参数后面所有模型都围绕它们展开。第一组是压缩机建模中的折算参数与压头系数[ n_{red} n \sqrt{\frac{T_{ref}}{T_{in}}}, \quad m_{red} \frac{m \sqrt{T_{in}/T_{ref}}}{P_{in}/P_{ref}} ]其中(T_{ref})和(P_{ref})是自行选择的参考状态一般取设计点进口状态。这样就把不同环境的性能数据统一到参考状态下。压头系数用下式[ \psi \frac{c_p T_{in} \left(\pi^{(k-1)/k}-1\right)}{u^2} ]这里的(u)是叶轮圆周速度(\pi)是压比。压头系数可以理解为“单位质量工质获得的能量与叶轮线速度动能之比”。设计点附近压头系数变化不大所以用它做跨工况对比更稳定。第二组是膨胀机建模中的速度比。膨胀机向心透平的性能核心是等熵理想速度(c_s)[ c_s \sqrt{2 c_p T_{in} \left[1-\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right)^{\frac{k-1}{k}}\right]} ]然后定义速度比(u/c_s)。叶轮圆周速度(u)与等熵理想速度之比。这个参数几乎决定了透平的效率水平。向心透平的效率-速度比曲线呈明显单峰峰值通常出现在0.6到0.7之间。后面拟合效率模型时这个关系是绝对不能绕开的。2. 特性曲线建模的核心公式与工程近似有了无量纲参数接下来就是选数学模型。我不建议一上来就用很复杂的神经网络或者机器学习模型除非你手里有几百个高质量实验点。大多数工程场景下十几个工况点搭配经典物理模型已经能做出相当可靠的Map。2.1 压缩机Map椭圆簇与抛物线拟合压缩机变工况特性最经典的现象是每条等转速线在压比-流量图上近似呈椭圆或抛物线形状。低转速时椭圆的包络比较平缓高转速时峰值更明显然后在大流量侧压比下降。因此工程上习惯用二次多项式拟合每条等转速线[ \pi a(n_{red}) m_{red}^2 b(n_{red}) m_{red} c(n_{red}) ]系数a、b、c是折算转速的函数一般再把它们对折算转速做二次或三次拟合。这样得到的Map就是一个连续的二维曲面给定任意折算转速和折算流量都能算出压比。效率曲线则单独处理。同一转速下效率随流量的变化是一条开口向下的抛物线[ \eta a_\eta(n_{red}) m_{red}^2 b_\eta(n_{red}) m_{red} c_\eta(n_{red}) ]效率峰值对应的流量通常略小于设计流量高流量侧效率下降更快。拟合的时候要特别注意二次多项式很容易在数据范围外产生荒谬的负效率值所以代码里一定要加边界裁剪或者约束拟合。如果你手里的数据是厂家给的等转速线但每条线只有三四个点二次拟合刚好经过这些点效果还可以。但想更稳一点建议用椭圆方程约束[ \left(\frac{m_{red}-m_{0}}{a}\right)^2 \left(\frac{\pi-\pi_{0}}{b}\right)^2 1 ]椭圆模型的物理意义更明确存在喘振边界和阻塞边界大流量和小流量两端都被自然约束外推风险比裸多项式小很多。2.2 膨胀机通流Stodola公式与临界阻塞判断膨胀机的通流特性比压缩机简单最常用的是Stodola公式。这个公式最早用于汽轮机通流计算后来被推广到透平机械描述的是“通过叶轮通道的质量流量与进出口压力之间的关系”[ m K_s \frac{P_{in}}{\sqrt{T_{in}}} \sqrt{1-\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right)^2} ]式中(K_s)是通流系数需要根据设计点或者实验数据标定。公式非常实用因为只需要一个标定参数就能描述流量随压比的变化。不过有个物理极限当背压降到临界压力以下时叶轮通道喉部达到音速流量进入阻塞状态不再随压比增加。临界压力可以近似用下式判断[ P_{cr} P_{in} \left(\frac{2}{k1}\right)^{\frac{k}{k-1}} ]对于双原子气体k≈1.4临界压力比大约是0.528对应膨胀比约1.89。有机工质的k更小临界膨胀比会更高一点。在Simulink或自编仿真程序里我习惯把Stodola公式和阻塞判断写成一个if判断P_out大于P_cr时用平方根公式小于等于P_cr时取阻塞流量常量。这样流量特性曲线从亚临界到超临界过渡是连续的不会出现台阶跳动。2.3 膨胀机效率速度比模型与设计点标定膨胀机效率不适合直接用流量或压比做自变量因为同样的膨胀比、不同的转速效率差异非常大。速度比(u/c_s)才能把转速和落压比同时反映出来。效率模型用单峰抛物线[ \eta_t 1 - A \left(1-\frac{u/c_s}{\mu_{opt}}\right 无量纲相似准则下的压缩机与膨胀机变工况特性建模与Matlab实现
1. 为什么非要用无量纲相似准则建模搞过压缩空气储能、ORC余热回收或者各种透平机械系统仿真的人应该都有过这种体会设备厂家给的设计点参数很好看可系统一跑起来工况稍微一变性能就完全对不上。压缩机喘振、膨胀机效率掉弧线整个系统仿真卡在那里数据怎么调都不对。这时候你发现你缺的不是设计点而是一整套能描述设备从低负荷到满负荷、甚至超负荷运行的变工况特性曲线。这篇文章围绕压缩机和膨胀机讲清楚怎么用无量纲相似准则把分散在不同转速、不同进口条件下的性能数据统一起来再用Matlab代码把这套模型落地成可以反复调用的曲线、插值函数和特性Map。适合两类人看一类是做系统级仿真的工程师比如搞CAES、ORC、各种制冷/热泵循环另一类是刚接触透平机械性能图的在校学生想在Simulink或自己的仿真平台里加入更真实的部件模型。1.1 直接拿原始数据定义模型踩过这几个坑你就懂了很多人第一反应是厂家给了压比、流量、效率的实验数据直接把数据扔进Matlab画个曲线不就行了真这么简单就不会有后面那么多麻烦。第一个坑是环境状态不一致。压缩机在地面试车时的进口温度和你实际运行时的进口温度很可能差了二十多度。同样的物理转速下温度高意味着当地音速高、叶尖马赫数低性能曲线会整条平移。你如果拿着厂家的曲线直接套计算出来的流量和压比偏差会随着环境变化越来越大。第二个坑是物理转速和折算转速混淆。一台设计转速30000r/min的压缩机夏天30度、冬天零下10度即便转速表都是30000r/min实际折算转速完全不同。特性曲线本质上应该以折算转速为参变量而不是物理转速。直接拿物理转速建模等于假设气温对性能没有影响这个前提在变工况仿真里站不住脚。第三个坑是几何尺寸的迁移问题。你想对比不同规格机器的性能或者把一台原型机的数据映射到放大后的机型上如果使用有量纲的原始数据根本没法比较。必须把流量、焓升、转速这些物理量组合成无量纲参数才能在同一个坐标系里对比。第四个坑其实最隐蔽系统级仿真需要的是连续可微的Map而不是一组离散点。你拿到的厂家数据往往只有几条等转速线每条线上四五个点中间区域的工况需要用模型插值。直接做线性插值曲率不连续在后续的微分方程求解里很容易造成数值抖动。所以变工况特性曲线建模的第一步不是拟合而是把所有数据换算到同一个“基准”上来。这个基准就是无量纲相似准则。1.2 无量纲化的本质把流动状态按相似关系对齐透平机械内部流动的性能归根结底取决于流场状态。如果两台机器几何相似并且相似准则数一致那么它们的性能就是相似的可以互相换算。工程上最常用的相似准则数是马赫数和雷诺数。马赫数决定可压缩性效应雷诺数决定黏性效应和边界层行为。不过严格保证Ma和Re同时相同非常困难。实际工程中通常只保证主控相似准则一致忽略次要因素。对压缩机、膨胀机来说主流区的可压缩性效应是主控因素所以马赫数的相似最重要。雷诺数的影响通常通过效率修正来考虑或者在模型里加一个雷诺数修正项。那怎么把马赫数相似变成工程上能用的参数核心就是温度。音速a与sqrt(T)成正比马赫数Ma v/a。要让两台机器的马赫数一致叶尖速度必须与sqrt(T)成比例。所以才有折算转速这个概念把物理转速除以sqrt(T)等效于把不同温度下的转速换算到同一个“马赫数基准”上。同理流量要与密度和速度相关而密度与P/T有关所以折算流量的形式是mdot*sqrt(T)/P。这么说可能有点抽象。打个比方不同体重的人跑步绝对速度不能说明跑步经济性必须看单位体重下的输出功率。压缩机也一样绝对流量不能说明通流能力必须看温度、压力修正后的折算流量。不同温度和压力条件下的数据只有换算成折算参数后才能画在同一条曲线上。1.3 两组核心无量纲参数折算转速/流量与速度比实际写代码前先记住这两组参数后面所有模型都围绕它们展开。第一组是压缩机建模中的折算参数与压头系数[ n_{red} n \sqrt{\frac{T_{ref}}{T_{in}}}, \quad m_{red} \frac{m \sqrt{T_{in}/T_{ref}}}{P_{in}/P_{ref}} ]其中(T_{ref})和(P_{ref})是自行选择的参考状态一般取设计点进口状态。这样就把不同环境的性能数据统一到参考状态下。压头系数用下式[ \psi \frac{c_p T_{in} \left(\pi^{(k-1)/k}-1\right)}{u^2} ]这里的(u)是叶轮圆周速度(\pi)是压比。压头系数可以理解为“单位质量工质获得的能量与叶轮线速度动能之比”。设计点附近压头系数变化不大所以用它做跨工况对比更稳定。第二组是膨胀机建模中的速度比。膨胀机向心透平的性能核心是等熵理想速度(c_s)[ c_s \sqrt{2 c_p T_{in} \left[1-\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right)^{\frac{k-1}{k}}\right]} ]然后定义速度比(u/c_s)。叶轮圆周速度(u)与等熵理想速度之比。这个参数几乎决定了透平的效率水平。向心透平的效率-速度比曲线呈明显单峰峰值通常出现在0.6到0.7之间。后面拟合效率模型时这个关系是绝对不能绕开的。2. 特性曲线建模的核心公式与工程近似有了无量纲参数接下来就是选数学模型。我不建议一上来就用很复杂的神经网络或者机器学习模型除非你手里有几百个高质量实验点。大多数工程场景下十几个工况点搭配经典物理模型已经能做出相当可靠的Map。2.1 压缩机Map椭圆簇与抛物线拟合压缩机变工况特性最经典的现象是每条等转速线在压比-流量图上近似呈椭圆或抛物线形状。低转速时椭圆的包络比较平缓高转速时峰值更明显然后在大流量侧压比下降。因此工程上习惯用二次多项式拟合每条等转速线[ \pi a(n_{red}) m_{red}^2 b(n_{red}) m_{red} c(n_{red}) ]系数a、b、c是折算转速的函数一般再把它们对折算转速做二次或三次拟合。这样得到的Map就是一个连续的二维曲面给定任意折算转速和折算流量都能算出压比。效率曲线则单独处理。同一转速下效率随流量的变化是一条开口向下的抛物线[ \eta a_\eta(n_{red}) m_{red}^2 b_\eta(n_{red}) m_{red} c_\eta(n_{red}) ]效率峰值对应的流量通常略小于设计流量高流量侧效率下降更快。拟合的时候要特别注意二次多项式很容易在数据范围外产生荒谬的负效率值所以代码里一定要加边界裁剪或者约束拟合。如果你手里的数据是厂家给的等转速线但每条线只有三四个点二次拟合刚好经过这些点效果还可以。但想更稳一点建议用椭圆方程约束[ \left(\frac{m_{red}-m_{0}}{a}\right)^2 \left(\frac{\pi-\pi_{0}}{b}\right)^2 1 ]椭圆模型的物理意义更明确存在喘振边界和阻塞边界大流量和小流量两端都被自然约束外推风险比裸多项式小很多。2.2 膨胀机通流Stodola公式与临界阻塞判断膨胀机的通流特性比压缩机简单最常用的是Stodola公式。这个公式最早用于汽轮机通流计算后来被推广到透平机械描述的是“通过叶轮通道的质量流量与进出口压力之间的关系”[ m K_s \frac{P_{in}}{\sqrt{T_{in}}} \sqrt{1-\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right)^2} ]式中(K_s)是通流系数需要根据设计点或者实验数据标定。公式非常实用因为只需要一个标定参数就能描述流量随压比的变化。不过有个物理极限当背压降到临界压力以下时叶轮通道喉部达到音速流量进入阻塞状态不再随压比增加。临界压力可以近似用下式判断[ P_{cr} P_{in} \left(\frac{2}{k1}\right)^{\frac{k}{k-1}} ]对于双原子气体k≈1.4临界压力比大约是0.528对应膨胀比约1.89。有机工质的k更小临界膨胀比会更高一点。在Simulink或自编仿真程序里我习惯把Stodola公式和阻塞判断写成一个if判断P_out大于P_cr时用平方根公式小于等于P_cr时取阻塞流量常量。这样流量特性曲线从亚临界到超临界过渡是连续的不会出现台阶跳动。2.3 膨胀机效率速度比模型与设计点标定膨胀机效率不适合直接用流量或压比做自变量因为同样的膨胀比、不同的转速效率差异非常大。速度比(u/c_s)才能把转速和落压比同时反映出来。效率模型用单峰抛物线[ \eta_t 1 - A \left(1-\frac{u/c_s}{\mu_{opt}}\right