《数电：逻辑代数》3

写在前面本专栏内容来自公开平台名师教学内容仅用于个人学习不得做他用。1. 逻辑的定义逻辑是事物的因果关系其运算基础称为逻辑代数布尔二进制中取1/0。香农在1937年提出了布尔代数和电子电路之间的关联。想要将实际的物理物件比如电路放入数学的视角进行运算逻辑运算第一件事是对其状态进行编码。2. 基本逻辑1与YABA AND BA·BAB条件同时具备结果发生上图左边为真值表右边是两种国际上认可的与门表示。2或Y A OR BAB条件之一发生结果发生3非YA NOT A条件不发生结果发生读图时不管圈在后还是前只要碰到一个圈就给逻辑值加上一个反。4几种复合运算5异或输入不同为1相同为0用三种基本逻辑门表示YABAB。6同或输入相同为1不同为0用三种基本逻辑门表示YABAB。3. 逻辑运算公式1基本公式主要是17一下看不出来AB(AC)AABACBCA(1BC)BCABC。8和18就是交的补补的并并的补补的交是德·摩根定理布尔的老师。2常用公式关于25只需要在多余项上乘以1AA化开即可。语言表述式子中至少有三项其中两项为原变量*B、反变量*C剩下那项同时有B*C则该项可去掉。关于22用上面的公式17化掉左边就可以。4. 逻辑代数基本定理1代入定理在任何一个包含A的逻辑等式中以另外一个逻辑式代入A的位置等式依然成立。意思就是底层的运算结果可以直接放在高层的运算里。比如德·摩根定理可以不仅用于两个变量多个变量依旧适用。2反演定理已知Y想要求Y与·变或或变与·0变11变0。5. 逻辑函数YF(A,B,C,...)输入变量与输出变量是函数关系在二值逻辑中值就取0/1。1表示方法看波形图和写真值表都要注意完整性是否输入变量每一行可能都取到三个输入8种可能。如果Y1的次数少就正常写逻辑式如果Y1的次数多就写0的逻辑式然后取反。逻辑式最为简洁抽象逻辑图和电路关系对应最清楚波形图最容易被观测。需求/波形图—真值表完整—逻辑式—逻辑图一个逻辑关系其真值表和逻辑式应当是唯一对应的。把Y1的所有组合全部相加0时变量取负1时取原最后化简。得到最简逻辑式后根据现有器件重新整理再画逻辑图。2标准形式最小项之和来源于真值表。比如一个电路涉及到A\B\C\D四个变量则最小项m中每一个变量均以原变量或反变量出现一次如ABCD。一般以该二进制对应的十进制数为下标如已知四个变量m0指ABCD。最小项性质1所有最小项之和为12在输入变量任一取值下有且仅有一个最小项为13任意两个最小项之积为04两个相邻最小项之和可以合并并消除一个因子留下公共因子相邻只有一个变量取反的两个最小项不一定要下标差1。最大项之积每一个最小项用摩根定理变换就得到了最大项比如ABCD。最大项用M表示下标也可以用二进制转十进制但是计算下标时A视为1、A视为0。最小项取0容易最大项取1容易。所以真值表Y1多的时候用最大项表示Y0的然后取反Y0多的时候用最小项表示Y1。在同一种逻辑关系下一个最小项m(ABC)和对应的最大项M下标(ABC)相同最小项表示用到的下标应该和最大项表示用到的下标完全互补。3化简逻辑函数有最简与或式包含的乘积项最少每个乘积项的因子也最少。以下为常用化简方法[1] 公式化简法需要记忆公式大量练习现在AI能够直接快速帮你做到。[2] 卡诺图化简法卡诺图采用格雷码方式为保证相邻可视为立体结构展开所得比如4变量卡诺图最外层一圈都视为相邻。用卡诺图化简变量不能太多不然过于麻烦。最小项相邻在卡诺图上连片内部周围一圈拐弯不行需要矩形都算相邻。相邻的最小项可以合并消除变量个最小项可以消去n个因子。卡诺图化简原则圈应该足够大与项短、足够少与项少每个圈都有自己新的1可以重复利用1必须包含图中所有1。如果0比较少也可以圈0的部分然后取反。逻辑函数的化简结果不唯一但最终与项个数长短一样圈数量大小一样分布不一样。这里涉及到两种无关项约束项在现实物理背景中对输入变量取值有限制在限制下永远为0或者为1的最小项为约束项。任意项在输入变量某些取值下函数为1或者为0不影响电路功能。在这种取值下唯一的最小项叫做任意项。约束项和任意项在卡诺图里用x表示化简时看情况不一定会被圈进去。不同物理背景决定了不同的无关项所以同样的输入变量在不同的约束条件下可能要重新设计电路系统。[3] 机器化简法大部分电路仿真软件如multsim都自带逻辑化简功能。比如列表法qm法。这种方法把所有有效最小项按照含有几个1分类分别比较无1和一个1、一个1和两个1...以此类推判断是否相邻每多个1表示可能可以消去一个变量。先消高层逐渐往底层进。